Trong quá trình làm bài, nếu có lỗi phát sinh các bạn hãy để lại bình luận bên dưới Admin sẽ khắc phục sớm nhất có thể.
Chúc các bạn làm bài thật tốt.
Câu 1: Cho hàm số $ f( x )$ có bảng biến thiên như sau: 
Chọn C
Câu 2: Cho cấp số nhân $( {u_n} )$ có ${u_1}=2$ và công bội $ q=6$. Giá trị của ${u_2}$ bằng Chọn D
Câu 3: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? Chọn A
Câu 4: Với $ a$ là số thực dương và $ a\ne 1$, khi đó ${{\log }_a}( {a^2} )$ bằng Chọn C
Câu 5: Biết $\displaystyle\int\limits_1^5{f(x)\mathrm{\,d}x=6,}\displaystyle\int\limits_1^5{g(x)\mathrm{\,d}x=-2}$. Giá trị của $\displaystyle\int\limits_1^5{[ f(x)-g(x) ]\mathrm{\,d}x}$ bằng Chọn A
Câu 6: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $ y=\dfrac{x+2}{x-2}$ là đường thẳng Chọn C
Câu 7: Số giao điểm của hai đồ thị $ y={x^3}-2x+1$ và $ y={x^2}+x+1$ là Chọn D
Câu 8: Đạo hàm của hàm số $ y={{2021}^x}$ là Chọn B
Câu 9: Cho $ a$ là số thực dương tùy ý, viết biểu thức $\dfrac{\sqrt [3]{{a^2}}}{{a^3}}$ về dạng luỹ thừa của $ a$ là Chọn B
Câu 10: Trong các số phức sau, số phức nào là số thuần ảo? Chọn D
Câu 11: Lớp 12A1 có 35 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra $3$ em làm cán bộ lớp, trong đó $1$ em làm bí thư, 1 em làm lớp trưởng, $1$ em làm lớp phó, biết rằng $35$ em đều có khả năng như nhau? Chọn B
Câu 12: Họ nguyên hàm của hàm số $ f( x )=x+{e^x}$ là Chọn D
Câu 13: Cho $F(x)=\int{x\cos x\mathrm{\,d}x}$. Khi đó $F(x)$ bằng Chọn A
Câu 14: Nghiệm của phương trình ${3^{2x+1}}=27$ là Chọn B
Câu 15: Nghiệm của phương trình ${{\log }_2}( x+1 )=2$ là Chọn D
Câu 16: Cho hàm số $ y=f( x )$ có bảng biến thiên như sau: 
Chọn B
Câu 17: Giá trị của $\displaystyle\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}}{\sin x\mathrm{\,d}x}$ bằng Chọn C
Câu 18: Cho hàm số $ f( x )$ có $f'( x )=x( x-1 )$. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? Chọn C
Câu 19: Tính thể tích của khối chóp có đáy là hình vuông cạnh $ a$ và chiều cao bằng $3a$. Chọn C
Câu 20: Cho số phức $ z=20i-21$. Môđun của số phức $ z$ bằng Chọn C
Câu 21: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$:$\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = - 2 + 3t\\z = 5\end{array} \right.$. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng $d$? Chọn D
Câu 22: Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là $ a$, độ dài đường sinh là $3a$. Khi đó thể tích của khối trụ là Chọn A
Câu 23: Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $7c{m^2}$, chiều cao bằng $3cm$. Thể tích khối lăng trụ đó bằng Chọn A
Câu 24: Cho hai số phức ${z_1}=1-4i$ và ${z_2}=2+i$. Tìm số phức $ w=2{z_1}-3{z_2}$. Chọn B
Câu 25: Trong không gian $Oxyz$, cho phương trình mặt cầu $(S)$:${x^2}+{y^2}+{z^2}-2x-6y+4z+5=0$. Mặt cầu $(S)$ có toạ độ tâm $I$ là Chọn C
Câu 26: Trong không gian $Oxyz$, cho $A( 1;2;-3 )$,$B( -2;1;-1 )$.Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ là. Chọn D
Câu 27: Một mặt cầu có diện tích là $2\pi $ thì có bán kính bằng Chọn D
Câu 28: Gọi $M$ và $ m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f( x )={x^3}-12x$ trên đoạn $[ 0;3 ]$. Giá trị $M-m$ bằng Chọn B
Câu 29: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh $2a$ (tham khảo hình bên). Tang của góc giữa đường thẳng $B'D$ và mặt phẳng $( ABCD )$ bằng 
Chọn C
Câu 30: Tập nghiệm của bất phương trình ${16^x}-{{5\cdot 4}^x}+4\ge 0$ là: Chọn C
Câu 31: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A( -4;2;1 )$ và $B( 2;4;5 )$. Mặt cầu $( S )$ có đường kính $AB$ có phương trình là Chọn D
Câu 32: Cho số phức $ z$ thỏa mãn $ z-( 2+3i )\bar{z}=1-9i$. Tính tích phần thực và phần ảo của số phức $ z$. Chọn A
Câu 33: Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A(1 ; 2 ;-1)$ và song song với đường thẳng $d$: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 5 + 2t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.$ có phương trình tham số là Chọn B
Câu 34: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a$, cạnh bên $SA=2a\sqrt {3}$ vuông góc với đáy (tham khảo hình bên). Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $( SCD )$. 
Chọn C
Câu 35: Cho tích phân $\displaystyle\int\limits_0^1 {(x - 2)} {e^x}dx = a + be$, với $ a;b\in \mathbb{Z}$. Tổng $a+b$ bằng Chọn A
Câu 36: Cho hàm số: $ y=f(x)={x^3}+3{x^2}+3x+2$. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau Chọn D
Câu 37: Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $A(2;-2;5);B(-4;6;3)$. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ là: Chọn B
Câu 38: Cho $20$ thẻ được đánh số lần lượt từ $1$ đến $20$. Rút ngẫu nhiên hai thẻ. Tính xác suất để tổng hai số được ghi trên hai thẻ là số chẵn. Chọn A
Câu 39: Cho hàm số $ y=f( x )$. Đồ thị hàm số $ y=f'( x )$ như hình vẽ dưới đây 
Chọn B
Ta thấy đồ thị của hàm số $f'( x )$ cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt, suy ra hàm số $ f( x )$ có $3$ điểm cực trị.
Ta có $g'( x )=2f'( x )\cdot {e^{2f( x )+1}}+f'( x ){{\cdot 5}^{f( x )}}\cdot \ln 5=f'( x )\cdot [ 2{e^{2f( x )+1}}+{5^{f( x )}}\cdot \ln 5 ] $
Vì $2{e^{2f( x )+1}}+{5^{f( x )}}\cdot \ln 5>0$ với mọi $ x$ nên $g'( x )=0\Leftrightarrow f'( x )=0 $
Suy ra số điểm cực trị của hàm số $ g( x )$ bằng số điểm cực trị của hàm số $ f( x ) $ }
Ta thấy đồ thị của hàm số $f'( x )$ cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt, suy ra hàm số $ f( x )$ có $3$ điểm cực trị.
Ta có $g'( x )=2f'( x )\cdot {e^{2f( x )+1}}+f'( x ){{\cdot 5}^{f( x )}}\cdot \ln 5=f'( x )\cdot [ 2{e^{2f( x )+1}}+{5^{f( x )}}\cdot \ln 5 ] $
Vì $2{e^{2f( x )+1}}+{5^{f( x )}}\cdot \ln 5>0$ với mọi $ x$ nên $g'( x )=0\Leftrightarrow f'( x )=0 $
Suy ra số điểm cực trị của hàm số $ g( x )$ bằng số điểm cực trị của hàm số $ f( x ) $ }
Câu 40: Trong không gian, cho mặt phẳng $( P ): x+3y-2z+2=0$ và đường thẳng $ d\colon \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-4}{1}$. Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A( 1;2;-1 )$, cắt mặt phẳng $( P )$ và đường thẳng $ d$ lần lượt tại $B$ và $C$ sao cho $C$ là trung điểm $AB$ là Chọn D
Do $C$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow B( 4t+1;-2t-4;2t+9 )$.
Ta có :$\Delta \cap ( P )=B$ $\Rightarrow B\in ( P )\Rightarrow 4t+1+3( -2t-4 )-2( 2t+9 )+2=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{9}{2}$.
Suy ra $B( -17;5;0 )$. Đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm $B$ và $A$.
Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ là $\overrightarrow{BA}=( 18;-3;-1 )$.
Vậy phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 17 + 18t\\y = 5 - 3t\\z = - t\end{array} \right.\)
Do $C$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow B( 4t+1;-2t-4;2t+9 )$.
Ta có :$\Delta \cap ( P )=B$ $\Rightarrow B\in ( P )\Rightarrow 4t+1+3( -2t-4 )-2( 2t+9 )+2=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{9}{2}$.
Suy ra $B( -17;5;0 )$. Đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm $B$ và $A$.
Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ là $\overrightarrow{BA}=( 18;-3;-1 )$.
Vậy phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 17 + 18t\\y = 5 - 3t\\z = - t\end{array} \right.\)
Câu 41: Cho hàm số $ f( x )$. Biết hàm số $f'( x )$ có đồ thị như hình dưới đây. Trên $[ -4;3 ]$, hàm số $ g( x )=2f( x )+{{( 1-x )}^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào? 
Chọn A
Xét hàm số $ g( x )=2f( x )+{{( 1-x )}^2}$ trên $[ -4;3 ]$.
Ta có: $g'( x )=2f'( x )-2( 1-x )$.
$g'( x )=0\Leftrightarrow f'( x )=1-x$. Trên đồ thị hàm số $f'( x )$ ta vẽ thêm đường thẳng $ y=1-x$.
Từ đồ thị ta thấy \(f'\left( x \right) = 1 - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên của hàm số $ g( x )$ như sau:
Vậy $\underset{[ -4;3 ]}{\mathop{\min }}g( x )=g( -1 )\Leftrightarrow x=-1$.
Xét hàm số $ g( x )=2f( x )+{{( 1-x )}^2}$ trên $[ -4;3 ]$.
Ta có: $g'( x )=2f'( x )-2( 1-x )$.
$g'( x )=0\Leftrightarrow f'( x )=1-x$. Trên đồ thị hàm số $f'( x )$ ta vẽ thêm đường thẳng $ y=1-x$.
Từ đồ thị ta thấy \(f'\left( x \right) = 1 - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên của hàm số $ g( x )$ như sau:
Câu 42: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $( ABCD )$ trùng với trung điểm cạnh $AD$, cạnh bên $SB$ hợp với đáy một góc $60^\circ $. Tính theo $ a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$. Chọn B
Gọi $H$ là trung điểm của $AD$$\Rightarrow SH\perp ( ABCD )$ $\Rightarrow $ $BH$ là hình chiếu vuông góc của $SB$
trên $( ABCD )$.
$\Rightarrow \widehat{SBH}=\widehat{( SB,( ABCD ) )}=60^\circ $.
$\triangle ABH$ vuông tại $A$ $\Rightarrow BH=\sqrt {A{B^2}+A{H^2}}=\sqrt {{a^2}+\dfrac{{a^2}}{4}}=\dfrac{a\sqrt {5}}{2}$.
$\triangle SBH$ vuông tại $H$ $ \Rightarrow SH = HB.\tan 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}.$
${V_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}\cdot SH.{S_{ABCD}}=\dfrac{{a^3}\sqrt {15}}{6}$
trên $( ABCD )$.
$\Rightarrow \widehat{SBH}=\widehat{( SB,( ABCD ) )}=60^\circ $.
$\triangle ABH$ vuông tại $A$ $\Rightarrow BH=\sqrt {A{B^2}+A{H^2}}=\sqrt {{a^2}+\dfrac{{a^2}}{4}}=\dfrac{a\sqrt {5}}{2}$.
$\triangle SBH$ vuông tại $H$ $ \Rightarrow SH = HB.\tan 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}.$
${V_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}\cdot SH.{S_{ABCD}}=\dfrac{{a^3}\sqrt {15}}{6}$
Câu 43: Cho số phức $ z=a+bi( a,b\in \mathbb{R} )$ thỏa mãn $| z |=5$ và $ z( 2+i )( 1-2i )$ là một số thực. Tính $P=| a |+| b |$. Chọn D
Ta có $ z( 2+i )( 1-2i )=( a+bi )( 4-3i )=4a+3b+( -3a+4b )i\cdot \text{ }( 1 )$
Do $ z( 2+i )( 1-2i )$ là một số thực nên từ $( 1 )$ suy ra $-3a+4b=0\Leftrightarrow b=\dfrac{3}{4}a\cdot \text{ }( 2 )$
Mặt khác $| z |=5\Leftrightarrow {a^2}+{b^2}=25\cdot \text{ }( 3 )$
Thế $( 2 )$ vào $( 3 )$ ta được phương trình ${a^2}+{{( \dfrac{3}{4}a )}^2}=25\Leftrightarrow {a^2}=16\Leftrightarrow a=\pm 4 $
Với $ a=4\Rightarrow b=3$ và $ a=-4\Rightarrow b=-3 $
Vậy $P=| a |+| b |=3+4=7 $
Ta có $ z( 2+i )( 1-2i )=( a+bi )( 4-3i )=4a+3b+( -3a+4b )i\cdot \text{ }( 1 )$
Do $ z( 2+i )( 1-2i )$ là một số thực nên từ $( 1 )$ suy ra $-3a+4b=0\Leftrightarrow b=\dfrac{3}{4}a\cdot \text{ }( 2 )$
Mặt khác $| z |=5\Leftrightarrow {a^2}+{b^2}=25\cdot \text{ }( 3 )$
Thế $( 2 )$ vào $( 3 )$ ta được phương trình ${a^2}+{{( \dfrac{3}{4}a )}^2}=25\Leftrightarrow {a^2}=16\Leftrightarrow a=\pm 4 $
Với $ a=4\Rightarrow b=3$ và $ a=-4\Rightarrow b=-3 $
Vậy $P=| a |+| b |=3+4=7 $
Câu 44: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1,x \ge 1\\2x,x < 1\end{array} \right.$ Tích phân $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}}{\sin x\cdot \sin 2x\cdot f( 2{{\sin }^3}x )}\mathrm{\,d}x$ bằng Chọn A
Đặt $ t=2{{\sin }^3}x$
\(\begin{array}{l} \Rightarrow dt = 2.3{\sin ^2}x.\cos xdx\\ \Leftrightarrow dt = 3\sin 2x.sinxdx\end{array}\) \(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x.\sin 2x.f\left( {2{{\sin }^3}x} \right)} \,{\rm{d}}x = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)} \,dt = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} \,dx\\ = \dfrac{1}{3}\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,dx} \right] = \dfrac{1}{3}\left[ {\int\limits_0^1 {\left( {2{\rm{x}}} \right)} \,dx + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 1} \right)} \,dx} \right] = \dfrac{{13}}{9}\end{array}\)
Đặt $ t=2{{\sin }^3}x$
\(\begin{array}{l} \Rightarrow dt = 2.3{\sin ^2}x.\cos xdx\\ \Leftrightarrow dt = 3\sin 2x.sinxdx\end{array}\) \(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x.\sin 2x.f\left( {2{{\sin }^3}x} \right)} \,{\rm{d}}x = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)} \,dt = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} \,dx\\ = \dfrac{1}{3}\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,dx} \right] = \dfrac{1}{3}\left[ {\int\limits_0^1 {\left( {2{\rm{x}}} \right)} \,dx + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 1} \right)} \,dx} \right] = \dfrac{{13}}{9}\end{array}\)
Câu 45: Mặt tiền nhà ông An có chiều ngang $AB=4m$, ông An muốn thiết kế lan can nhô ra có dạng là một phần của đường tròn $( C )$ (hình vẽ). Vì phía trước vướng cây tại vị trí $F$ nên để an toàn, ông An xây lan can là cung tròn đi qua điểm $E$ cách $D$ một khoảng là 1m ($D$ là trung điểm của $AB$). Biết $AF=2m$, $\widehat{DAF}={60^0}$ và lan can cao $1m$ làm bằng inox với giá $2{,}2$ triệu/m2. Tính số tiền ông An phải trả (làm tròn đến hàng ngàn). 
Chọn C
Theo giả thiết, ta có $\triangle AFD$ đều nên $FD=2m$ suy ra $ED=1m$ , $\widehat{EAD}={30^0}$ và $\widehat{EDB}={120^0}$.
Trong tam giác $\triangle EDB$ có \(E{B^2} = D{E^2} + D{B^2} - 2DE.DB.\cos {120^0} = 7\)
Gọi $R$ là bán kính của đường tròn $(C)$ tâm $O$, áp dụng định lý sin trong tam giác $\triangle AEB$ ta có \(\dfrac{{EB}}{{\sin \widehat {EAD}}} = 2{\rm{R}}\), suy ra $R=\sqrt {7}$.
Xét tam giác $OAB$ có $R=OA=OB=\sqrt {7}$, $AB=4$, suy ra \(\cos \widehat {AOB} = \dfrac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2OA.OB}} = - \dfrac{1}{7}\)
Khi đó $\widehat{AOB}\simeq 98,{2^0}$, suy ra độ dài cung $( C )$ xấp xỉ $4{,}54m$.
Vì chiều cao của lan can là $1m$ và giá kính là 2,2 triệu/m2 nên số tiền ông An phải trả xấp xỉ $9{,}977{,}000$ đ.
Theo giả thiết, ta có $\triangle AFD$ đều nên $FD=2m$ suy ra $ED=1m$ , $\widehat{EAD}={30^0}$ và $\widehat{EDB}={120^0}$.
Trong tam giác $\triangle EDB$ có \(E{B^2} = D{E^2} + D{B^2} - 2DE.DB.\cos {120^0} = 7\)
Gọi $R$ là bán kính của đường tròn $(C)$ tâm $O$, áp dụng định lý sin trong tam giác $\triangle AEB$ ta có \(\dfrac{{EB}}{{\sin \widehat {EAD}}} = 2{\rm{R}}\), suy ra $R=\sqrt {7}$.
Khi đó $\widehat{AOB}\simeq 98,{2^0}$, suy ra độ dài cung $( C )$ xấp xỉ $4{,}54m$.
Vì chiều cao của lan can là $1m$ và giá kính là 2,2 triệu/m2 nên số tiền ông An phải trả xấp xỉ $9{,}977{,}000$ đ.
Câu 46: Biết rằng parabol $( P )\colon {y^2}=2x$ chia đường tròn $( C )\colon {x^2}+{y^2}=8$ thành hai phần lần lượt có diện tích là ${S_1}$, ${S_2}$ (như hình vẽ). Khi đó ${S_2}-{S_1}=a\pi -\dfrac{b}{c}$ với $ a,b,c$ nguyên dương và $\dfrac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $S=a+b+c$. 
Chọn C
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 8\\{y^2} = 2x\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 8 = 0\\{y^2} = 2x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4 \vee x = 2\\{y^2} = 2x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\{y^2} = 4\end{array} \right.\)
${S_1}=2\int\limits_0^2{\sqrt {2x}\mathrm{\,d}x}+2\int\limits_2^{2\sqrt {2}}{\sqrt {8-{x^2}}}\mathrm{\,d}x$
\({I_1} = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {2x} {\rm{d}}x} = \left. {\left( {2.\sqrt 2 .\dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right)} \right|_0^2 = \dfrac{{16}}{3}\)
${I_2}=2\int\limits_2^{2\sqrt {2}}{\sqrt {8-{x^2}}}\mathrm{\,d}x$
Đặt $ x=2\sqrt {2}\cos t$$\Rightarrow \mathrm{\,d}x=-2\sqrt {2}\sin t\mathrm{\,d}t$
$ x=2\Rightarrow t=\dfrac{\pi }{4}$, $ x=2\sqrt {2}\Rightarrow t=0$.
${I_2}=2\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^0{\sqrt {8-8{{\cos }^2}t}\left( -2\sqrt {2}\sin t\mathrm{\,d}t \right)}$ $=16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\sin }^2}t\mathrm{\,d}t}$ $=8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}}{( 1-\cos 2t )\mathrm{\,d}t}$$=8\cdot ( t-\dfrac{1}{2}\sin 2t ) |_0^{\dfrac{\pi }{4}}$ $=2\pi -4$
$\Rightarrow {S_1}={I_1}+{I_2}=2\pi +\dfrac{4}{3}$.
$\Rightarrow {S_2}=\pi {{\left( 2\sqrt {2} \right)}^2}-{S_1}=6\pi -\dfrac{4}{3}$.
$\Rightarrow {S_2}-{S_1}=4\pi -\dfrac{8}{3}$.
Vậy $ a=4$, b$=8$, $ c=3$ $\Rightarrow S=a+b+c=15$.
${S_1}=2\int\limits_0^2{\sqrt {2x}\mathrm{\,d}x}+2\int\limits_2^{2\sqrt {2}}{\sqrt {8-{x^2}}}\mathrm{\,d}x$
\({I_1} = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {2x} {\rm{d}}x} = \left. {\left( {2.\sqrt 2 .\dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right)} \right|_0^2 = \dfrac{{16}}{3}\)
${I_2}=2\int\limits_2^{2\sqrt {2}}{\sqrt {8-{x^2}}}\mathrm{\,d}x$
Đặt $ x=2\sqrt {2}\cos t$$\Rightarrow \mathrm{\,d}x=-2\sqrt {2}\sin t\mathrm{\,d}t$
$ x=2\Rightarrow t=\dfrac{\pi }{4}$, $ x=2\sqrt {2}\Rightarrow t=0$.
${I_2}=2\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^0{\sqrt {8-8{{\cos }^2}t}\left( -2\sqrt {2}\sin t\mathrm{\,d}t \right)}$ $=16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\sin }^2}t\mathrm{\,d}t}$ $=8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}}{( 1-\cos 2t )\mathrm{\,d}t}$$=8\cdot ( t-\dfrac{1}{2}\sin 2t ) |_0^{\dfrac{\pi }{4}}$ $=2\pi -4$
$\Rightarrow {S_1}={I_1}+{I_2}=2\pi +\dfrac{4}{3}$.
$\Rightarrow {S_2}=\pi {{\left( 2\sqrt {2} \right)}^2}-{S_1}=6\pi -\dfrac{4}{3}$.
$\Rightarrow {S_2}-{S_1}=4\pi -\dfrac{8}{3}$.
Vậy $ a=4$, b$=8$, $ c=3$ $\Rightarrow S=a+b+c=15$.
Câu 47: Biết rằng parabol $( P )\colon {y^2}=2x$ chia đường tròn $( C )\colon {x^2}+{y^2}=8$ thành hai phần lần lượt có diện tích là ${S_1}$, ${S_2}$ (như hình vẽ). Khi đó ${S_2}-{S_1}=a\pi -\dfrac{b}{c}$ với $ a,b,c$ nguyên dương và $\dfrac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $S=a+b+c$. Chọn D
Ta chia cả hai vế cho $| 2+i |$ và được $| | z |z+iz |=| 1+i |=\sqrt {2}$. Đặt $| z |=m\ge 0$ thì ta có $ m\left| m+i \right|=\sqrt {2}\Rightarrow {m^2}\left( {m^2}+1 \right)=2\Rightarrow m=1$ hay ta có $| z |=1$, nói cách khác hai số ${z_1},{z_2}$ cùng thuộc đương tròn tâm O, bán kính R = 1. Gọi A, B biểu diễn các số ${z_1},{z_2}$ thì từ $| {z_1}-{z_2} |=1$ suy ra OAB là tam giác đều. Không giảm tổng quát chọn $A\left( 1;0 \right),B\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt {3}}{2} \right)$
Thì \(M = \left| {2\left( {1 + 0i} \right) + 3\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{{i\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right| = \left| {\dfrac{{7 + i3\sqrt 3 }}{2}} \right| = \sqrt {19} \)
Ta chia cả hai vế cho $| 2+i |$ và được $| | z |z+iz |=| 1+i |=\sqrt {2}$. Đặt $| z |=m\ge 0$ thì ta có $ m\left| m+i \right|=\sqrt {2}\Rightarrow {m^2}\left( {m^2}+1 \right)=2\Rightarrow m=1$ hay ta có $| z |=1$, nói cách khác hai số ${z_1},{z_2}$ cùng thuộc đương tròn tâm O, bán kính R = 1. Gọi A, B biểu diễn các số ${z_1},{z_2}$ thì từ $| {z_1}-{z_2} |=1$ suy ra OAB là tam giác đều. Không giảm tổng quát chọn $A\left( 1;0 \right),B\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt {3}}{2} \right)$
Thì \(M = \left| {2\left( {1 + 0i} \right) + 3\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{{i\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right| = \left| {\dfrac{{7 + i3\sqrt 3 }}{2}} \right| = \sqrt {19} \)
Câu 48: Cho $0\le x,y\le 1$ thỏa mãn ${{2020}^{1-x-y}}=\dfrac{{x^2}+2021}{{y^2}-2y+2022} $ Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=( 4{x^2}+3y )( 4{y^2}+3x )+25xy $ Khi đó $M+m$ bằng bao nhiêu? Chọn B
Ta có ${{2020}^{1-x-y}}=\dfrac{{x^2}+2021}{{y^2}-2y+2022}\Leftrightarrow \dfrac{{{2020}^{1-y}}}{{{2020}^x}}=\dfrac{{x^2}+2021}{{{( 1-y )}^2}+2021}$
${{2020}^x}( {x^2}+2021 )={{2020}^{1-y}}[ {{( 1-y )}^2}+2021 ]\Leftrightarrow f( x )=f( 1-y )$
Xét hàm số$ f( t )={{2020}^t}( {t^2}+2021 )={t^2}{{\cdot 2020}^t}+{{2021\cdot 2020}^t}$, có
$f'( t )=2t{{\cdot 2020}^t}+{t^2}{{\cdot 2020}^t}\cdot \ln 2020+{{2021\cdot 2020}^t}\cdot \ln 2020>0;\forall t>0$
Suy ra $ f( t )$ là hàm đồng biến trên $( 0;+\infty )$ mà $ f( x )=f( 1-y )\Rightarrow x+y=1$
Lại có
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 16{x^2}{y^2} + 12\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right)} \right] + 34xy\\ = 16{x^2}{y^2} + 12\left( {1 - 3xy} \right) + 34xy\\ = 16{x^2}{y^2} - 2xy + 12\end{array}\)
Mà $1=x+y\ge 2\sqrt {xy}\Leftrightarrow xy\le \dfrac{1}{4}$ nên đặt $ t=xy\in [ 0;\dfrac{1}{4} ]$ khi đó $P=f( t )=16{t^2}-2t+12$
Xét hàm số $ f( t )=16{t^2}-2t+12$ trên $[ 0;\dfrac{1}{4} ]$ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right) = \dfrac{{191}}{{16}}\\M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{{25}}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra $M+m=\dfrac{191}{16}+\dfrac{25}{16}=\dfrac{391}{16}$.
Ta có ${{2020}^{1-x-y}}=\dfrac{{x^2}+2021}{{y^2}-2y+2022}\Leftrightarrow \dfrac{{{2020}^{1-y}}}{{{2020}^x}}=\dfrac{{x^2}+2021}{{{( 1-y )}^2}+2021}$
${{2020}^x}( {x^2}+2021 )={{2020}^{1-y}}[ {{( 1-y )}^2}+2021 ]\Leftrightarrow f( x )=f( 1-y )$
Xét hàm số$ f( t )={{2020}^t}( {t^2}+2021 )={t^2}{{\cdot 2020}^t}+{{2021\cdot 2020}^t}$, có
$f'( t )=2t{{\cdot 2020}^t}+{t^2}{{\cdot 2020}^t}\cdot \ln 2020+{{2021\cdot 2020}^t}\cdot \ln 2020>0;\forall t>0$
Suy ra $ f( t )$ là hàm đồng biến trên $( 0;+\infty )$ mà $ f( x )=f( 1-y )\Rightarrow x+y=1$
Lại có
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 16{x^2}{y^2} + 12\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right)} \right] + 34xy\\ = 16{x^2}{y^2} + 12\left( {1 - 3xy} \right) + 34xy\\ = 16{x^2}{y^2} - 2xy + 12\end{array}\)
Mà $1=x+y\ge 2\sqrt {xy}\Leftrightarrow xy\le \dfrac{1}{4}$ nên đặt $ t=xy\in [ 0;\dfrac{1}{4} ]$ khi đó $P=f( t )=16{t^2}-2t+12$
Xét hàm số $ f( t )=16{t^2}-2t+12$ trên $[ 0;\dfrac{1}{4} ]$ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right) = \dfrac{{191}}{{16}}\\M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{{25}}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra $M+m=\dfrac{191}{16}+\dfrac{25}{16}=\dfrac{391}{16}$.
Câu 49: Tìm tham số $m$ để tồn tại duy nhất cặp số $(x;y)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau ${{\log }_{2021}}( x+y )\le 0$ và $ x+y+\sqrt {2xy+m}\ge 1$ Chọn C
Điều kiện cần: Xét hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{\log _{2021}}\left( {x + y} \right) \le 0\,(1)\\x + y + \sqrt {2xy + m} \ge 1\,(2)\end{array} \right.$
$(x;y)$ là nghiệm hệ bất phương trình thì $(y;x)$ cũng là nghiệm của hệ bất phương trình.
Do đó hệ có nghiệm duy nhất $\Rightarrow x = x$ .
Khi đó: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0 < 2x \le 1 \Leftrightarrow 0 < x \le \dfrac{1}{2}$
Với \(0 < x \le \dfrac{1}{2};\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2x + \sqrt {2{x^2} + m} \ge 1\)
$\begin{array}{l}\sqrt {2{x^2} + m} \ge 1 - 2x\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + m \ge 1 - 4x + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 1 \le m\end{array}$
$f(x)$ nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) \(f\left( x \right) \ge f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = - \dfrac{1}{2}\forall x \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right]\)
Do đó hệ có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\) Điều kiện đủ: Với $ m=-\dfrac{1}{2}$, ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\log _{2021}}\left( {x + y} \right) \le 0\,\,\,\,(1)\\x + y + \sqrt {2xy - \dfrac{1}{2}} \ge 1\,\,(2)\end{array} \right.$
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y \le 1\\x + y + \sqrt {2xy - \dfrac{1}{2}} \ge 1\end{array} \right.\)
Ta có $1\le x+y+\sqrt {2xy-\dfrac{1}{2}}\le x+y+\sqrt {\dfrac{{{( x+y )}^2}}{2}-\dfrac{1}{2}}\le 1$ .
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $ x=y=\dfrac{1}{2}$.
Điều kiện cần: Xét hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{\log _{2021}}\left( {x + y} \right) \le 0\,(1)\\x + y + \sqrt {2xy + m} \ge 1\,(2)\end{array} \right.$
$(x;y)$ là nghiệm hệ bất phương trình thì $(y;x)$ cũng là nghiệm của hệ bất phương trình.
Do đó hệ có nghiệm duy nhất $\Rightarrow x = x$ .
Khi đó: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0 < 2x \le 1 \Leftrightarrow 0 < x \le \dfrac{1}{2}$
Với \(0 < x \le \dfrac{1}{2};\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2x + \sqrt {2{x^2} + m} \ge 1\)
$\begin{array}{l}\sqrt {2{x^2} + m} \ge 1 - 2x\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + m \ge 1 - 4x + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 1 \le m\end{array}$
$f(x)$ nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) \(f\left( x \right) \ge f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = - \dfrac{1}{2}\forall x \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right]\)
Do đó hệ có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\) Điều kiện đủ: Với $ m=-\dfrac{1}{2}$, ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\log _{2021}}\left( {x + y} \right) \le 0\,\,\,\,(1)\\x + y + \sqrt {2xy - \dfrac{1}{2}} \ge 1\,\,(2)\end{array} \right.$
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y \le 1\\x + y + \sqrt {2xy - \dfrac{1}{2}} \ge 1\end{array} \right.\)
Ta có $1\le x+y+\sqrt {2xy-\dfrac{1}{2}}\le x+y+\sqrt {\dfrac{{{( x+y )}^2}}{2}-\dfrac{1}{2}}\le 1$ .
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $ x=y=\dfrac{1}{2}$.
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $( S )\colon {{( x-1 )}^2}+{{( y-2 )}^2}+{{( z-3 )}^2}=9$ và mặt phẳng $( P )\colon 2x-2y+z+3=0$. Gọi $M( a;b;c )$ là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ $M$ đến $( P )$ lớn nhất. Khi đó: Chọn D
Mặt $( S )$ cầu có tâm $I( 1;2;3 ),R=3$}
$ d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.1-2.2+3+3 \right|}{\sqrt {{2^2}+{{\left( -2 \right)}^2}+{1^2}}}=\dfrac{4}{3}R$ mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn
Gọi $M( a;b;c )$ là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ $M$ đến $( P )$ lớn nhất.
Khi đó $M$ thuộc đường thẳng $\Delta $ đi qua I và vuông góc với $( P )$
$\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.$. Thay vào mặt cầu $( S )$$\Rightarrow {{( 2t )}^2}+{{( -2t )}^2}+{{( t )}^2}=9\Rightarrow 9{t^2}=9\Rightarrow t=\pm 1$
Với $ t=1\Rightarrow M\left( 3;0;4 \right)\Rightarrow d\left( M;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.3-2.0+4+3 \right|}{\sqrt {{2^2}+{{\left( -2 \right)}^2}+{1^2}}}=\dfrac{10}{3}$
Với $ t=-1\Rightarrow M\left( -1;4;2 \right)\Rightarrow d\left( M;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.\left( -1 \right)-2.4+2+3 \right|}{\sqrt {{2^2}+{{\left( -2 \right)}^2}+{1^2}}}=\dfrac{1}{3}$
Vậy $M( 3;0;4 )$$\Rightarrow a+b+c=7$.
Mặt $( S )$ cầu có tâm $I( 1;2;3 ),R=3$}
$ d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.1-2.2+3+3 \right|}{\sqrt {{2^2}+{{\left( -2 \right)}^2}+{1^2}}}=\dfrac{4}{3}R$ mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn
Gọi $M( a;b;c )$ là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ $M$ đến $( P )$ lớn nhất.
Khi đó $M$ thuộc đường thẳng $\Delta $ đi qua I và vuông góc với $( P )$
$\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.$. Thay vào mặt cầu $( S )$$\Rightarrow {{( 2t )}^2}+{{( -2t )}^2}+{{( t )}^2}=9\Rightarrow 9{t^2}=9\Rightarrow t=\pm 1$
Với $ t=1\Rightarrow M\left( 3;0;4 \right)\Rightarrow d\left( M;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.3-2.0+4+3 \right|}{\sqrt {{2^2}+{{\left( -2 \right)}^2}+{1^2}}}=\dfrac{10}{3}$
Với $ t=-1\Rightarrow M\left( -1;4;2 \right)\Rightarrow d\left( M;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.\left( -1 \right)-2.4+2+3 \right|}{\sqrt {{2^2}+{{\left( -2 \right)}^2}+{1^2}}}=\dfrac{1}{3}$
Vậy $M( 3;0;4 )$$\Rightarrow a+b+c=7$.
Tổng số câu đúng: Đúng 0 câu
Rate This Article
Thanks for reading: Đề KSCL Toán thi tốt nghiệp THPT 2021 lần 3 trường THPT Lê Lai – Thanh Hóa, Stay tune to get latest Blogging Tips.